Μαθήματα ενότητας

  • Οι κλασματικοί αριθμοί
  • Κλάσματα μεγαλύτερα της ακέραιης μονάδας
  • Το κλάσμα ως πηλίκο διαίρεσης 
  • Ισοδυναμία κλασμάτων – Απλοποίηση κλασμάτων
  • Σύγκριση και διάταξη κλασμάτων 
  • Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων 
  • Πολλαπλασιασμός φυσικού αριθμού ή κλάσματος με κλάσμα - Αντίστροφοι αριθμοί
  • Διαίρεση κλασμάτων
  • Αναγωγή στην κλασματική μονάδα

Οι κλασματικοί αριθμοί

Οι κλασματικοί αριθμοί

Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες
  • Κλάσμα
  • Κλασματική μονάδα
  • Κλάσμα και ακέραιη μονάδα
<
>

Τι είναι κλάσμα;

Κλάσμα, ονομάζουμε  το μέρος μιας ακέραιης μονάδας η οποία έχει χωριστεί σε ίσα μέρη.  
Τα κλάσματα γράφονται με δύο αριθμούς (ο ένας κάτω από τον άλλο), που χωρίζονται με μία γραμμή, την κλασματική γραμμή. 
Όροι του κλάσματος
  • Ο αριθμός που γράφεται κάτω από την κλασματική γραμμή λέγεται παρονομαστής και φανερώνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίστηκε η ακέραια μονάδα.
  • Ο αριθμός που γράφεται πάνω από την κλασματική γραμμή λέγεται αριθμητής και φανερώνει πόσα από τα ίσα μέρη, στα οποία χωρίστηκε η ακέραια μονάδα, πήραμε.
  • Ο αριθμητής και ο παρονομαστής λέγονται όροι του κλάσματος.
​
Κάθε κλάσμα ή κλασματικός αριθμός είναι ο αριθμός που γίνεται από την κλασματική μονάδα, αν την πάρουμε πολλές φορές.

Κλασματική μονάδα

Κλασματική μονάδα είναι το ένα από τα ίσα μέρη, στα οποία χωρίζουμε μια ακέραιη μονάδα.
  • Κλασματική μονάδα μπορεί να είναι και το ένα από τα ίσα μέρη, στα οποία χωρίζουμε ένα πλήθος ομοειδών αντικειμένων. Π.χ. το 1/3 των 6 αυγών.
  • Ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες κλασματικές μονάδες μεγαλύτερη είναι εκείνη που έχει το μικρότερο παρονομαστή και μικρότερη εκείνη που έχει το μεγαλύτερο παρονομαστή. 
  • Όταν γνωρίζουμε την τιμή της μιας κλασματικής μονάδας, μπορούμε να υπολογίσουμε την αξία ολόκληρης της ακέραιης μονάδας. Π.χ. Αν το 1/4 των μαθητών της τάξης είναι 5 μαθητές, τότε ολόκληρη η τάξη έχει 4 Χ 5 = 20

Σχέση κλάσματος με την ακέραιη μονάδα

Γνήσια κλάσματα
Γνήσια κλάσματα λέγονται τα κλάσματα που είναι μικρότερα από την ακέραια μονάδα. Έχουν, δηλαδή, τον αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή.
Κλάσματα ίσα με την ακέραια μονάδα
Κλάσματα ίσα με την ακέραια μονάδα είναι εκείνα που έχουν τον αριθμητή ίσο με τον παρονομαστή.
Καταχρηστικά κλάσματα
Καταχρηστικά λέγονται τα κλάσματα που είναι μεγαλύτερα από την ακέραια μονάδα. Έχουν, δηλαδή, τον αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή.

Κλάσματα μεγαλύτερα της ακέραιης μονάδας

Κλάσματα μεγαλύτερα της ακέραιης μονάδας

Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες
Ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από την ακέραιη μονάδα (καταχρηστικό κλάσμα), όταν ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή του.
  • Μεικτός ονομάζεται ο αριθμός που αποτελείται από ακέραιο μέρος και κλασματικό μέρος.
  • Ένας μεικτός αριθμός μπορεί να μετατραπεί σε καταχρηστικό κλάσμα και το αντίστροφο.
  • Μετατροπή καταχρηστικού σε μεικτό
  • Μετατροπή μεικτού σε κλάσμα
<
>
  1. Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.
  2. Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος του μεικτού.
  3. Το κλάσμα του μεικτού έχει αριθμητή το υπόλοιπο της διαίρεσης και παρονομαστή τον ίδιο με το αρχικό κλάσμα.
  1. Πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο του μεικτού με τον παρονομαστή του κλάσματός του.
  2. Στο γινόμενο που προκύπτει προσθέτουμε τον αριθμητή του μεικτού αριθμού.
  3. Το αποτέλεσμα αποτελεί τον αριθμητή του νέου κλάσματος, ενώ παρονομαστής παραμένει ο ίδιος.

Το κλάσμα ως πηλίκο διαίρεσης 

Το κλάσμα ως πηλίκο διαίρεσης

Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες
  • Κάθε κλάσμα είναι ίσο με το πηλίκο μιας διαίρεση: (αριθμητής) : (παρονομαστή)
  • Αντίστροφα κάθε διαίρεση μπορούμε να την εκφράσουμε και ως κλάσμα. 
  • Κάθε κλάσμα μπορεί να εκφραστεί ως δεκαδικός αν κάνουμε τη διαίρεση.
  • Αν η διαίρεση είναι ατελής σταματάμε όπου μας χρειάζεται.
  • Κάθε δεκαδικός μπορεί να μετατραπεί σε κλάσμα. 

Ισοδυναμία κλασμάτων – Απλοποίηση κλασμάτων

Ισοδυναμία κλασμάτων – Απλοποίηση κλασμάτων

Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα 
​​
​Οι κλασματικές μονάδες που έχουν παρονομαστή το 10, το 100, το 1.000 κτλ. ονομάζονται δεκαδικές κλασματικές μονάδες. 
Η αναγωγή στην κλασματική μονάδα μας βοηθάει να λύσουμε διάφορα προβλήματα, όπως:
  • Όταν γνωρίζουμε ολόκληρη την ποσότητα και θέλουμε να υπολογίσουμε ένα κλασματικό μέρος της.
  • Όταν γνωρίζουμε ένα κλασματικό μέρος και θέλουμε να υπολογίσουμε ολόκληρη την ποσότητα.
  • Όταν γνωρίζουμε ένα κλασματικό μέρος μιας ποσότητας και θέλουμε να υπολογίσουμε ένα άλλο κλασματικό μέρος της ίδιας ποσότητας.

Κλασματικές μονάδες

Ισοδύναμα κλάσματα

  • Δύο ή περισσότερα κλάσματα που έχουν διαφορετικούς όρους, δηλαδή διαφορετικό αριθμητή & παρονομαστή, αλλά εκφράζουν την ίδια ποσότητα, λέγονται ισοδύναμα.
  • Δύο ή περισσότερα κλάσματα όταν έχουν ίσους παρονομαστές λέγονται ομώνυμα ενώ αν έχουν διαφορετικούς λέγονται ετερώνυμα. Και οι δύο μαζί (αριθμητής και παρονομαστής) λέγονται όροι του κλάσματος.
Δημιουργώ ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας
​και τους δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό.
  • Όταν πολλαπλασιάζω και τους δύο όρους του κλάσματος, δημιουργώ ένα ισοδύναμο κλάσμα με μεγαλύτερους όρους.
  • Όταν διαιρώ και τους δύο όρους του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, δημιουργώ ένα ισοδύναμο κλάσμα με μικρότερους όρους. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται απλοποίηση (το κλάσμα γίνεται πιο απλό).
​Όταν ένα κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιηθεί, δεν υπάρχει δηλαδή αριθμός που να διαιρεί ακριβώς και τον αριθμητή και τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα λέγεται ανάγωγο. Για να απλοποιήσω ένα κλάσμα και να το κάνω ανάγωγο, χρησιμοποιώ το ​Μ.Κ.Δ. με τον οποίο διαιρώ και τους δύο όρους του κλάσματος.
παιχνιδι - 1
Ταίριαξε τα ισοδύναμα κλάσματα και ανέβα επίπεδο
παιχνιδι - 2
Δημιούργησε ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. 
Κάνεις κλικ σε έναν από τους όρους τους κλάσματος και επιλέγεις από κάτω τους σωστούς αριθμούς.
παιχνιδι - 3