Μαθήματα ενότητας
- Δυνάμεις
- Δυνάμεις του 10
- Κλάσματα ομώνυμα και ετερώνυμα
- Το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης
- Ισοδύναμα κλάσματα
- Σύγκριση - Διάταξη κλασμάτων
- Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων
- Προβλήματα με πολλαπλασιασμό και διαίρεση κλασμάτων
Δυνάμεις
Δυνάμεις
|
Ένα γινόμενο, που έχει ίδιους παράγοντες (αριθμούς), μπορεί να γραφτεί σύντομα με τη μορφή δύναμης.
|
|
Αποτελείται από δύο μέρη: Το 8, που λέγεται βάση της δύναμης και μας δείχνει ποιος αριθμός πολλαπλασιάζεται. Το 3, που λέγεται εκθέτης της δύναμης και μας δείχνει πόσες φορές πολλαπλασιάζεται η βάση της δύναμης. Ο εκθέτης γράφεται με μικρότερο μέγεθος, πάνω και δεξιά από τη βάση.
|
|
εξασκηση
Δυνάμεις του 10
Δυνάμεις του 10
Για να σχηματίσουμε δυνάμεις του 10 βάζουμε βάση κάθε φορά το 10 και εκθέτη τον αριθμό που δείχνει πόσα μηδενικά έχει ο αριθμός.
Για να αναλύσουμε δυνάμεις του 10, γράφουμε κάθε φορά το 1 και βάζουμε τόσα μηδενικά όσα μας λέει ο εκθέτης.
Για να γράψουμε έναν πολυψήφιο αριθμό με δύναμη του 10, εργαζόμαστε ως εξής:
▪ Γράφουμε τον αριθμό ως γινόμενο με το 10, το 100, το 1.000 κ.ο.κ ανάλογα με το πλήθος των 0 που υπάρχουν στο τέλος.
▪ Μετατρέπουμε το 10, το 100. το 1.000 κ.ο.κ. σε δύναμη του 10.
▪ Γράφουμε τον αριθμό ως γινόμενο με το 10, το 100, το 1.000 κ.ο.κ ανάλογα με το πλήθος των 0 που υπάρχουν στο τέλος.
▪ Μετατρέπουμε το 10, το 100. το 1.000 κ.ο.κ. σε δύναμη του 10.
Οι δυνάμεις του 10 συγκρίνονται και διατάσσονται σε σειρά (αύξουσα ή φθίνουσα) πολύ εύκολα, αν συγκρίνουμε τους εκθέτες τους. Ανάμεσα σε δύο δυνάμεις του 10, μεγαλύτερη είναι αυτή με το μεγαλύτερο εκθέτη.
Κλάσματα ομώνυμα και ετερώνυμα
Κλάσματα ομώνυμα και ετερώνυμα
|
Κλάσμα είναι ο αριθμός που μας δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε την ακέραια μονάδα και πόσα από αυτά πήραμε. Κάθε κλάσμα έχει:
|
|
Θυμάμαι ότι:
- Όταν ο αριθμητής είναι η μονάδα (το 1) και παρονομαστής οποιοσδήποτε αριθμός π.χ. 1/3 τότε το κλάσμα λέγεται κλασματική μονάδα.
- Ένα κλάσμα είναι ίσο με την ακέραια μονάδα, όταν έχει τον αριθμητή ίσο με τον παρονομαστή π.χ. 4/4.
- Όταν ο αριθμητής είναι μικρότερος του παρονομαστή π.χ. 2/5 τότε το κλάσμα λέγεται γνήσιο.
- Όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή π.χ. 5/2 τότε το κλάσμα λέγεται καταχρηστικό.
- Μεικτός αριθμός είναι αυτός που αποτελείται από ακέραιο και κλασματικό μέρος π.χ. 4 1/2.
Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή.
Ετερώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουνε διαφορετικούς παρονομαστές.
Ετερώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουνε διαφορετικούς παρονομαστές.
βιντεομαθηματα
|
|
|
φυλλα εργασιασ
Το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης
Το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης
- Κάθε κλάσμα είναι ίσο με το πηλίκο μιας διαίρεση: (αριθμητής) : (παρονομαστή)
- Αντίστροφα κάθε διαίρεση μπορούμε να την εκφράσουμε και ως κλάσμα.
- Κάθε κλάσμα μπορεί να εκφραστεί ως δεκαδικός αν κάνουμε τη διαίρεση.
- Αν η διαίρεση είναι ατελής σταματάμε όπου μας χρειάζεται.
- Κάθε δεκαδικός μπορεί να μετατραπεί σε κλάσμα.
|
|
Πώς μετατρέπουμε ένα...
|
1. Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.
2. Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος του μεικτού. 3. Το κλάσμα του μεικτού έχει αριθμητή το υπόλοιπο της διαίρεσης και παρονομαστή τον ίδιο με το αρχικό κλάσμα. |
|
1. Πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο του μεικτού με τον παρονομαστή του κλάσματός του.
2. Στο γινόμενο που προκύπτει προσθέτουμε τον αριθμητή του μεικτού αριθμού.
3. Το αποτέλεσμα αποτελεί τον αριθμητή του νέου κλάσματος, ενώ παρονομαστής παραμένει ο ίδιος.
2. Στο γινόμενο που προκύπτει προσθέτουμε τον αριθμητή του μεικτού αριθμού.
3. Το αποτέλεσμα αποτελεί τον αριθμητή του νέου κλάσματος, ενώ παρονομαστής παραμένει ο ίδιος.
Ισοδύναμα κλάσματα
Ισοδύναμα κλάσματα
Δύο ή περισσότερα κλάσματα που έχουν διαφορετικούς όρους, δηλαδή διαφορετικό αριθμητή και παρονομαστή, αλλά εκφράζουν την ίδια ποσότητα, λέγονται ισοδύναμα.
|
Για να βρούμε αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα, πολλαπλασιάζουμε τους όρους σταυρωτά (σταυρωτά ή χιαστί γινόμενα).
|
|
Πώς δημιουργούμε ισοδύναμα κλάσματα;
Για να δημιουργήσουμε ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε και τους δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό.
|
|
Όταν ένα κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιηθεί, δεν υπάρχει δηλαδή αριθμός που να διαιρεί ακριβώς και τον αριθμητή και τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα λέγεται ανάγωγο.
Για να απλοποιήσω ένα κλάσμα και να το κάνω ανάγωγο, χρησιμοποιώ το Μ.Κ.Δ. με τον οποίο διαιρώ και τους δύο όρους του κλάσματος.
Για να απλοποιήσω ένα κλάσμα και να το κάνω ανάγωγο, χρησιμοποιώ το Μ.Κ.Δ. με τον οποίο διαιρώ και τους δύο όρους του κλάσματος.
Θα διαιρέσω τους όρους του κλάσματος διαδοχικά με τους κοινούς τους διαιρέτες, δηλαδή τους κοινούς διαιρέτες του 18 και 30
Θα βρω το Μ.Κ.Δ. των όρων του κλάσματος και θα διαιρέσω με αυτόν τους όρους του.
Θα γράψω τους όρους του κλάσματος με τη μορφή γινομένου πρώτων παραγόντων και θα διαγράψω από αριθμητή και παρονομαστή τους ίδιους παράγοντες έναν με έναν.
παρουσιαση μαθηματος
ισοδυναμα κλασματα - bingo
φυλλα εργασιασ
Σύγκριση - Διάταξη κλασμάτων
Σύγκριση - Διάταξη κλασμάτων
Τα κλάσματα αφού είναι αριθμοί μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους κα να διαταχθούν σε σειρά (αύξουσα ή φθίνουσα).
- Για να μπορέσω να συγκρίνω δύο ή περισσότερα κλάσματα πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθμητή ή τον ίδιο παρονομαστή.
|
1. Αν τα κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, τότε μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει το μικρότερο παρονομαστή
2. Αν τα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή τότε μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή.
|
|
- Για να συγκρίνω δύο κλάσματα που έχουν διαφορετικούς και τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους, πρέπει να τα κάνω ομώνυμα.
Ετερώνυμα κλάσματα με διαφορετικό αριθμητή
Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς και τα συγκρίνουμε.
Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα και τα συγκρίνουμε. Για να φρεσκάρεις τη μνήμη σου κοίταξε εδώ πώς γίνεται η μετατροπή.
Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων
Για να προσθέσω ή αφαιρέσω κλάσματα, θα πρέπει αυτά να είναι ομώνυμα και τότε προσθέτω ή αφαιρώ αντίστοιχα τους αριθμητές τους.
Για να λύσω ένα πρόβλημα που τα δεδομένα του βρίσκονται σε διαφορετικές μορφές (φυσικοί, δεκαδικοί, κλασματικοί, μεικτοί αριθμοί), ακολουθώ τα παρακάτω βήματα:
- 1ο βήμα: Μετρατρέπω όλα τα δεδομένα στην ίδια μορφή.
- 2ο βήμα: Εκτελώ τις πράξεις σύμφωνα με όσα λέει το πρόβλημα.
- 3ο βήμα: Ελέγχω αν το αποτέλεσμα που βρήκα είναι λογικό.
|
Τα παιδιά των τάξεων Δ΄, Ε΄και Στ΄ σε ένα δημοτικό σχολείο αποφάσισαν να διοργανώσουν μια δίωρη χριστουγεννιάτικη γιορτή. Ο διαθέσιμος χρόνος μοιράστηκε:
Περισσεύει χρόνος για να παρουσιάσουν και ένα κοινό πρόγραμμα οι τρεις τάξεις; Αν ναι, πόσα λεπτά είναι;
|
|
λυση προβληματοσ
- Πρέπει να προσθέσω τον χρόνο των μαθητών: 1/3 + 3/10 + 1/4
- Παρατηρώ όμως πως είναι ετερώνυμα οπότε θα τα κάνω ομώνυμα.
- Γνωρίζοντας πως η μία ώρα έχει 60 λεπτά θα κάνω τα κλάσματα ομώνυμα με παρονομαστή το 60.
- Συνεπώς 1/3 + 3/10 + 1/4 = 20/60 + 18/60 + 15/60 = 53/60
- Άρα στην μία ώρα έχουμε 60/60 - 53/60 = 7/60. Περισσεύουν 7 λεπτά στη μία ώρα.
- Στο δίωρο θα έχουμε 7 + 7 = 14 λεπτά για κοινό πρόγραμμα.
Προβλήματα με πολλαπλασιασμό και διαίρεση κλασμάτων
|
1. Για να πολλαπλασιάσω δύο ή περισσότερα κλάσματα, πολλαπλασιάζω τους αριθμητές και το γινόμενο το βάζω αριθμητή και μετά πολλαπλασιάζω τους παρονομαστές και το γινόμενο το βάζω παρονομαστή. Με όποια σειρά κι αν πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα το αποτέλεσμα είναι το ίδιο.
|
|
|
2. Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα, αντιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος (δηλαδή τον αντίστροφο αριθμό του διαιρέτη) και κάνουμε πολλαπλασιασμό.
|
|
|
3. Για να βρούμε την τιμή του μέρους ενός αριθμού πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό αυτό με το κλάσμα που δείχνει το μέρος.
|
|
|
4. Για να υπολογίσω αριθμητικές παραστάσεις που περιέχουν κλασματικούς αριθμούς, πρώτα μετατρέπω, αν χρειάζεται, κάποιους από τους αριθμούς σε άλλη μορφή. Στην συνέχεια εκτελούμε τις πράξεις από αριστερά προς τα δεξιά, με τη γνωστή σειρά (παρενθέσεις, πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις, προσθέσεις κι αφαιρέσεις).
|
|
φυλλα εργασιασ