Ενότητα 2

Από το βιβλίο που αποσύρθηκε

Μαθήματα ενότητας

Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς
Ο πολλαπλασιασμός στους φυσικούς αριθμούς
Πολλαπλάσια και διαιρέτες
Κριτήρια διαιρετότητας
Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

Δεκαδικοί αριθμοί - Δεκαδικά κλάσματα

Με δεκαδικούς αριθμούς ασχολήθηκαν πρώτοι Μουσουλμάνοι και Κινέζοι μαθηματικοί. Εκείνος όμως που έβαλε στην καθημερινή χρήση τους δεκαδικούς αριθμούς ως άλλη μορφή γραφής των δεκαδικών κλασμάτων ήταν ο Φλαμανδός μαθηματικός, μηχανικός και αρχιτέκτονας Σίμον Στεβάιν. Έγραψε μάλιστα γι αυτό κι ένα βιβλίο, «το Δέκατο», το 1585 μ.Χ.

Με τους απλούς (φυσικούς) αριθμούς μετράμε πλήθος αντικειμένων ή προσώπων ή ζώων κ.ά. Τους δεκαδικούς αριθμούς καθώς και τα δεκαδικά κλάσματα τα χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε με ακρίβεια διάφορα μεγέθη, όπως το ύψος μας, το βάρος μας, τα χρήματά μας κ.ά

Δεκαδικό κλάσμα
Δεκαδικός αριθμός
Βιντεομάθημα

Δεκαδικό κλάσμα ονομάζουμε το κλάσμα που έχει παρονομαστή το 10, το 100, το 1000 κτλ.
π.χ. 7/10, 25/100, 540/1000

Κάθε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να γραφτεί και ως δεκαδικός αριθμός.
Οι δεκαδικοί αριθμοί αποτελούνται από δύο μέρη: το ακέραιο και το δεκαδικό μέρος.
Το ακέραιο με το δεκαδικό μέρος χωρίζονται μεταξύ τους από την υποδιαστολή (,)

Για να γράψουμε ένα δεκαδικό αριθμό προσέχουμε:

Αν ακούμε ότι ο δεκαδικός αριθμός έχει δέκατα, τότε το δεκαδικό μέρος έχει ένα ψηφίο, αν ακούμε εκατοστά έχει δύο και χιλιοστά τρία.

Για να διαβάσουμε ένα δεκαδικό αριθμό:

Διαβάζουμε πρώτα όλο το ακέραιο μέρος του αριθμού, λέμε τη λέξη «και» και μετά όλο το δεκαδικό μέρος με το όνομα του τελευταίου δεκαδικού ψηφίου.

π.χ. 42,125 = 42 και 125 χιλιοστά

Φτιαξε τη δικη σου σημαια

Φτιάξε τη δική σου σημαία με βάση τα κλάσματα που σου δίνονται.
Βούτηξε το πινέλο στα χρώματα και καλή δημιουργία!

Μοντελο δεκαδικων αριθμων και δεκαδικων κλασματων

Μοντέλο δεκαδικών αριθμών και δεκαδικών κλασμάτων. Μετακινώντας τις μπάρες numerator (αριθμητής) και denominator (παρανομαστής) βλέπετε την απεικόνιση του κλάσματος. Μπορείτε να αλλάξετε την μορφή της απεικόνισης σε διάφορα σχήματα με το βελάκι που υπάρχει δίπλα.

Παρουσιασεις

Slideboom

συμπερασμα

Μπορούμε να φτιάξουμε την ακέραιη μονάδα με 10 δέκατα (10 x 1/10 ή 10 x 0,10) ή με 100 εκατοστά (100 x 1/100 ή 100 x 0,01).
Παράδειγμα: 1 =10 x 10 λ. ή 10 x 0,10

Δεκαδικά κλάσματα - Δεκαδικοί αριθμοί

Τους δεκαδικούς αριθμούς μπορούμε να τους γράφουμε και ως δεκαδικά κλάσματα και αντίστροφα.

Για να γράψουμε ένα δεκαδικό αριθμό με μορφή δεκαδικού κλάσματος, γράφουμε στη θέση του αριθμητή τον αριθμό χωρίς την υποδιαστολή και στον παρονομαστή γράφουμε τη μονάδα και τόσα μηδενικά, όσα δεκαδικά ψηφία έχει ο δεκαδικός αριθμός.

π.χ. 2,6= 26/10

Για να γράψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα ως δεκαδικό αριθμό, γράφουμε τον αριθμητή του και χωρίζουμε με την υποδιαστολή από το τέλος τόσα δεκαδικά ψηφία όσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής του.

π.χ. 427/100=4,27

συμπερασμα

Χρησιμοποιούμε τους δεκαδικούς αριθμούς και τα δεκαδικά κλάσματα για να μετρήσουμε με ακρίβεια.
Παραδείγματα:

1 λίτρο αμόλυβδης βενζίνης κοστίζει 0,964.
Η δοσολογία που πρότεινε ο γιατρός είναι: 2 κουταλάκια σιρόπι ή 2/100 του λίτρου.

βιντεομαθημα

παρουσιασεις

Slideboom

Αξία θέσης ψηφίων στους δεκαδικούς αριθμούς

Για να συγκρίνουμε δεκαδικούς αριθμούς εξετάζουμε τις εξής περιπτώσεις:

Περίπτωση 1η :
Συγκρίνουμε καταρχήν το ακέραιο μέρος τους. Μεγαλύτερος είναι ο δεκαδικός αριθμός που έχει το μεγαλύτερο ακέραιο μέρος.

Παράδειγμα: 49,25 > 6,82 αφού 49 > 6

Περίπτωση 2η :
Αν το ακέραιο μέρος είναι το ίδιο και στους δύο αριθμούς, τότε συγκρίνουμε τα δεκαδικά μέρη ξεκινώντας από τα δέκατα. Μεγαλύτερος θα είναι τότε ο δεκαδικός αριθμός που έχει τα μεγαλύτερα δέκατα.

Παράδειγμα: 3,95 > 3,17 αφού 9 > 1

Περίπτωση 3η :
Αν και τα δέκατα είναι ίδια και στους δύο αριθμούς, συνεχίζουμε τη σύγκριση με τα ψηφία των εκατοστών. Αν και αυτά είναι ίδια, κάνουμε σύγκριση με τα ψηφία των χιλιοστών.

Παράδειγμα: α) 3,95 > 3,94 β) 3,954 >3,953

Πρόσεχε όμως:
Αν κάποιος από τους δεκαδικούς αριθμός που συγκρίνουμε έχει τα περισσότερα δεκαδικά ψηφία, δε σημαίνει ότι σίγουρα θα είναι και ο μεγαλύτερος!
Παράδειγμα: 5,8 > 5,419 (κι ας έχει ο δεύτερος περισσότερα δεκαδικά ψηφία)

συμπερασμα

Όταν συγκρίνουμε αριθμούς με δεκαδικά ψηφία, ξεκινάμε να συγκρίνουμε τα ψηφία που βρίσκονται από αριστερά, στις ακριβώς αντίστοιχες θέσεις. Παράδειγμα:

9,850 κιλά > 9,225 κιλά, γιατί 9 = 9 και 8 > 2.

βιντεομαθημα

κρεμασε τισ κορνιζεσ

(Κρέμασε τις κορνίζες στη σειρά από τη μικρότερη (σε αξία) μέχρι τη μεγαλύτερη)

Προβλήματα με δεκαδικούς

Λύνω τα παρακάτω προβλήματα

Ο πατέρας της Μαριάννας αγόρασε τις διπλανές συσκευασίες μέλι με 12 € το κιλό. Πλήρωσε με δύο χαρτονομίσματα και πήρε τα ρέστα σε ένα κέρμα.

Πόσο κόστισε συνολικά το μέλι που αγόρασε;
Με πόσα χαρτονομίσματα πλήρωσε και ποιο κέρμα πήρε ρέστα;

Η Κάτια λατρεύει τη μουσική. Το χαρτζιλίκι της Κάτιας είναι 10 € για τις 5 ημέρες που πάει σχολείο. Καθημερινά αγοράζει ένα κουλούρι των 0,70 € και ένα χυμό των 0,80 €. Θα της φτάσουν τα χρήματα που της μένουν σε ένα μήνα (4 εβδομάδες) για να αγοράσει ένα CD που κοστίζει 10 €.

Συμπερασμα

Σε καθημερινά προβλήματα εκτιμούμε γρήγορα ένα αποτέλεσμα όταν αντικαταστήσουμε τους δεκαδικούς αριθμούς που έχουμε με άλλους που έχουν την ίδια περίπου αξία, αλλά μας διευκολύνουν στους υπολογισμούς.

Η έννοια της στρογγυλοποίησης

Πότε κάνουμε στρογγυλοποίηση
Πώς κάνουμε στρογγυλοποίηση

Πότε κάνουμε στρογγυλοποίηση σε έναν αριθμό και γιατί;

Κάνουμε στρογγυλοποίηση σε έναν αριθμό, φυσικό ή δεκαδικό, όταν θέλουμε να θυμόμαστε εύκολα τον αριθμό ή όταν θέλουμε να κάνουμε πράξεις υπολογίζοντας το αποτέλεσμα γρήγορα, αλλά χωρίς ακρίβεια.

Πώς κάνουμε, λοιπόν, στρογγυλοποίηση;

Η διαδικασία της στρογγυλοποίησης είναι ίδια για τους φυσικούς και για τους δεκαδικούς αριθμούς και είναι η εξής:
α) Επιλέγουμε το ψηφίο του αριθμού στο οποίο θα κάνουμε στρογγυλοποίηση
β) Παρατηρούμε το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά του

Αν αυτό το ψηφίο στα δεξιά είναι 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 (δηλαδή λιγότερο από 5), τότε από εκεί κι έπειτα όλα τα ψηφία μηδενίζονται και το ψηφίο στο οποίο κάναμε στρογγυλοποίηση καθώς και όλα τα μπροστινά του τα ξαναγράφουμε όπως είναι.
Αν όμως το ψηφίο στα δεξιά είναι 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 (δηλαδή από 5 και πάνω), τότε από εκεί κι έπειτα όλα τα ψηφία μηδενίζονται ενώ το ψηφίο της στρογγυλοποίησης αυξάνεται κατά μία μονάδα.

Slideboom

συμπερασμα

Στην καθημερινή μας ζωή δεν είναι πάντα απαραίτητο να κάνουμε υπολογισμούς με ακρίβεια. Υπάρχουν περιπτώσεις που η στρογγυλοποίηση των αριθμών μάς βοηθάει να εκτιμήσουμε γρήγορα ένα αποτέλεσμα. Συνήθως η διαφορά ανάμεσα στον ακριβή υπολογισμό και στην εκτίμηση (σφάλμα) δεν είναι σημαντική.
Παράδειγμα: 1 λίτρο βενζίνη: 0,999 € . Tο 1 λίτρο κοστίζει ουσιαστικά 1 €.
Πόσο κοστίζουν 15 λίτρα; Άρα, τα 15 λίτρα κοστίζουν 15 €.

ο μπακαλογατος ή της κακομοιρασ

«Ο Μπακαλόγατος ή της κακομοίρας»

«Ο Μπακαλόγατος ή της κακομοίρας», γυρίστηκε για τον κινηματογράφο το 1963, με τεράστια επιτυχία και με ατάκες που εκτοξεύονταν σε ρυθμό πολυβόλου από τον Ζήκο (Κώστα Χατζηχρήστο), στον καλύτερο ίσως ρόλο της καριέρας του! Ο Ζήκος ο Μπακαλόγατος, αφελής αλλά ετοιμόλογος, δουλεύει στο μαγαζί του κυρ-Παντελή και είναι ερωτευμένος με την Φιφίκα, που για να παίξει μαζί του, προσποιείται ότι ανταποκρίνεται.

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών

Πρόσθεση & αφαίρεση δεκαδικών αριθμών
Πολλαπλασιασμός Δεκαδικών Αριθμών

Πώς κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών αριθμών;

Γίνεται όπως και στους φυσικούς αριθμούς, τοποθετώντας τους αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλο, έτσι ώστε οι υποδιαστολές να γράφονται στην ίδια στήλη και προσθέτουμε τα ψηφία της ίδιας τάξης.

Αν δυσκολεύεσαι στην κάθετη τοποθέτηση των αριθμών, μπορείς να κάνεις κάποιο από τα επόμενα κόλπα:

Κάνε όλους τους δεκαδικούς να έχουν το ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων, βάζοντας μηδενικά στο τέλος του δεκαδικού τους μέρους.
Όσο γράφεις κάθετα τους αριθμούς φρόντιζε να έχουν τις υποδιαστολές τους τη μια ακριβώς κάτω από την άλλη.

ΠΡΟΣΕΧΕ ΟΜΩΣ:
Αν οι αριθμοί που θέλουμε να αφαιρέσουμε δεν έχουν ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων, πρέπει να συμπληρώνουμε μηδενικά στο τέλος του δεκαδικού τους μέρους.

Πολλαπλασιασμός Δεκαδικών Αριθμών

Γίνεται όπως και ο πολλαπλασιασμός των φυσικών αριθμών, τοποθετώντας στο γινόμενο την υποδιαστολή τόσες θέσεις από τα δεξιά προς τα αριστερά, όσα είναι συνολικά τα ψηφία στα δεκαδικά μέρη των παραγόντων.

Παραδείγματα

συμπερασμα

Για να πολλαπλασιάσουμε ένα δεκαδικό αριθμό με 10, 100, 1.000 κτλ. μεταφέρουμε την υποδιαστολή του αντίστοιχα 1, 2, 3 κτλ. θέσεις πιο δεξιά. Όπου χρειάζεται, προσθέτουμε μηδενικά. Παραδείγματα: • 10 x 2,9 = 29 • 100 x 2,9 = 290.
Mπορώ να υπολογίσω το γινόμενο δύο αριθμών αν διπλασιάσω τον έναν και υποδιπλασιάσω συγχρόνως τον άλλο. Παράδειγμα: 1,25 x 16 = 2,5 x 8 = 5 x 4 = 20.

Διαίρεση ακεραίου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό

Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό

Θυμάσαι που λέγαμε στη Δ’ τάξη ότι η διαίρεση που δεν αφήνει υπόλοιπο λέγεται τέλεια ενώ εκείνη που αφήνει υπόλοιπο λέγεται ατελής; Ε, λοιπόν, όταν μια διαίρεση είναι ατελής μπορούμε να τη συνεχίσουμε ως εξής:

Προσθέτουμε το ψηφίο μηδέν στο υπόλοιπο.
Βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο
Συνεχίζουμε τη διαίρεση
Εάν προκύψει πάλι νέο υπόλοιπο ξαναβάζουμε ένα μηδενικό και συνεχίζουμε τη διαίρεση, χωρίς φυσικά να βάλουμε και δεύτερη υποδιαστολή! Τη διαδικασία αυτή την επαναλαμβάνουμε όσες φορές χρειαστεί.

Και για να μη ξεχνιόμαστε…
Στη διαίρεση 14 : 8 ο αριθμός 14 (που διαιρείται) λέγεται διαιρετέος, ο αριθμός 8 (που διαιρεί) λέγεται διαιρέτης και ο αριθμός 1,75 (το αποτέλεσμα) λέγεται πηλίκο. Αυτό που περισσεύει (αν περισσεύει) λέγεται υπόλοιπο.

Τι γίνεται αν ο διαιρετέος είναι μικρότερος του διαιρέτη; Μπορούμε να μοιράσουμε, για παράδειγμα, 2 σοκολάτες σε 8 παιδιά;

Και βέβαια μπορούμε! Σε αυτή την περίπτωση εργαζόμαστε ως εξής:

Βάζουμε ένα μηδενικό στον διαιρετέο
Βάζουμε στο πηλίκο επίσης ένα μηδενικό και υποδιαστολή
Συνεχίζουμε τη διαίρεση

συμπερασμα

Yπολογίζω το αποτέλεσμα μιας διαίρεσης με μεγαλύτερη ακρίβεια ως εξής:

Αν αφήνει υπόλοιπο, βάζω υποδιαστολή στο πηλίκο, προσθέτω το ψηφίο 0 στο υπόλοιπο μετατρέποντάς το σε δέκατα, και συνεχίζω τη διαίρεση.
Αν ο διαιρέτης δε χωράει στο διαιρετέο, βάζω 0 στο πηλίκο και υποδιαστολή, μετατρέπω το διαιρετέο σε δέκατα και συνεχίζω τη διαίρεση.

Μαθηματικά - Ε΄ Δημοτικού